高等傳熱學(xué)課件-第3章控制體的微分方程.pdf
第三章控制體的微分方程
第一節(jié)定義
第二節(jié)控制體物理量及守恒定律的數(shù)學(xué)描述
第三節(jié)方程封閉性的討論
第四節(jié)小結(jié)
第一節(jié)定義
坐標(biāo)系中的自然定義：矢量不僅有大小還有方向，與坐標(biāo)系方向一致的，符號(hào)為“+”，否則為“-”。
控制體中的人為定義：控制體中的諸物理量增加時(shí)，符號(hào)“+”，否則為“-”。
控制面上的實(shí)際情況：必須同時(shí)考慮關(guān)于控制面上所發(fā)生的“進(jìn)”和“出”兩種情況。
定義控制體產(chǎn)生率：控制體內(nèi)隨時(shí)間的物理量增量減去因控制面上的流動(dòng)而引起的控制體物理量增量。
第二節(jié)控制體物理量及守恒定律的數(shù)學(xué)描述
本節(jié)所用到的數(shù)學(xué)描述都是基于這樣一種思想：我們所研究的對(duì)象是物體的宏觀運(yùn)動(dòng)，即大量分子的平均行為，而不是單個(gè)分子的個(gè)別行為，因而可以不去考慮物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)和單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)。這稱(chēng)為連續(xù)介質(zhì)模型。
以下分析為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)采用二維模型。
熱設(shè)計(jì)
質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)描述：對(duì)于一個(gè)控制體積，流出控制體積的質(zhì)量速率為
動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)描述運(yùn)用動(dòng)量守恒必須分析控制體積所受到的力，可分為體積力與表面力。前者分析較為簡(jiǎn)單，而后者在所研究的問(wèn)題中是待求的未知量。控制體表面某點(diǎn)所受到的應(yīng)力稱(chēng)為應(yīng)力矢量，描寫(xiě)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要借助應(yīng)力張量
第三節(jié)方程封閉性討論
我們已經(jīng)建立了表示三個(gè)基本物理定律得數(shù)學(xué)方程式。它們包含兩個(gè)表兩方程和一個(gè)矢量方程，二維情形下，一共得到四個(gè)偏微分方程。方程組中出現(xiàn)的未知函數(shù)是：一共12個(gè)未知量，方程四個(gè)，應(yīng)補(bǔ)充方程8個(gè)
補(bǔ)充的途徑有：
一、非平衡體系的熱力學(xué)函數(shù)
二、傳熱定律和擴(kuò)散定律
三、牛頓流體粘性定律
在實(shí)際問(wèn)題中，通常還對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。例如定常情形不需要考慮物理量隨時(shí)間的變化；無(wú)體積力不可壓情形可使方程減少三個(gè)未知量；無(wú)粘流動(dòng)則使方程大為簡(jiǎn)化。這些做法使方程的封閉性可以進(jìn)一步滿(mǎn)足，解起來(lái)也更為方便。
第四節(jié)小結(jié)與討論
在寫(xiě)出控制體的數(shù)學(xué)表述之前，必須對(duì)物理量的符號(hào)進(jìn)行定義：一種是基于坐標(biāo)系的自然定義，一種是基于控制體的人為定義。
如果不引入三大守恒原理，我們無(wú)法寫(xiě)出關(guān)于控制體的微分方程。
由于系統(tǒng)和控制體之間的差別在于在邊界面上有無(wú)質(zhì)量的進(jìn)出，因此關(guān)于系統(tǒng)的三大守恒原理和關(guān)于控制體的三大守恒原理，在數(shù)學(xué)描述上有所差異。
對(duì)控制體，在應(yīng)用了三大守恒原理之后，我們只可以寫(xiě)出有限數(shù)量的方程（一維：3個(gè)；二維：4個(gè)；三維：5個(gè)），因此，對(duì)任何實(shí)際情況，都必須寫(xiě)出補(bǔ)充方程，才可以進(jìn)行封閉求解。
上面分析可以看到關(guān)于系統(tǒng)的三代守恒定律和關(guān)于控制體積的三大守恒定律是有差別的，那么兩者的又是如何統(tǒng)一起來(lái)的？
雷諾輸運(yùn)公式表明：一個(gè)物質(zhì)體系內(nèi)某種流體廣延量的增長(zhǎng)率，等于體系在該時(shí)刻所占的那個(gè)空間域中同一物理量的增長(zhǎng)率，加上單位時(shí)間內(nèi)由區(qū)域邊界流出的該物理量的總通量。
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